【1】
随机选取一个正整数，它的第一位数字是1 的概率是多少？是1/9么？其实这里还有个如何随机的问题。如果等概率选取呢？但是对于可列状态空间集，并不存在一个概率测度，使得它在任意两个单点集上的概率相同。
 
现考虑前n个正整数中（服从均匀分布），首位数字是1的概率记为P(n)。对P(n)取极限就是上面问题的答案。可是很显然，这个极限并不存在，原因如下。
 
P(n)的下极限是1/9（在n=9,99,199,1999....时达到），上极限是5/9（在n=inf时达到）。换句话说，对于区间[1/9,5/9]内的实数c，都存在P(n)的子列，其极限为c。类似的，记前n个正整数中，首位数字是2的概率是P_2(n)，则其下极限是1/18，上极限是10/27。
 
但是，如果考虑等比序列：1, 2, 4, 8, 16, …记这个序列的前n项中首位数字是1的概率为P(n)，则P(n)是有极限的，且极限是lg(2)。推广到一般情况，对于任意一个非10的整数次幂的正整数q，考虑首项为1，公比为q的等比序列，它的前n项中首位数字是k的概率为P_k(n)，则其极限是lg(1+1/k)。这个结论非常漂亮，且表述简单，其意义与遍历定理有关。

 

【2】
随机抛一枚硬币，其正面朝上(H)和背面朝上(T)的概率都是1/2。现连续抛这枚硬币，直到首次出现这两种组合TTH、HTH。你选择其中的一个组合，如它先出现，则你赢，否则你输。问你应该选择哪个组合？

 

解决过程需要画状态转移图，得到的结论是选TTH赢得概率为5/8，选HTH赢得概率为3/8。
 
此类问题在高盛等各类金融公司面试时曾出现过多次，解决该类问题的正规军是马尔科夫状态方程组。除此以外，貌似俺没发现直观的解释。
 
【3】
你参加电视台的一个抽奖节目。台上有三个门，一个后边有汽车，其余后边是山羊。主持人让你任意选择其一。然后他打开其余两个门中的一个，你看到是山羊。这时，他给你机会让你可以重选，也就是你可以换选另一个剩下的门。那么，你换不换？

 

这个题目的结论很简单，即：如果主持人事先知道三扇门后面的礼物，则换；如果主持人跟你一样也不知道，则换不换没区别。当然了，电视节目嘛，主持人又不傻，他/她必然知道门后面的礼物。所以，如果碰见此类问题，结论一般是换。结论很简单，有意思的是如何得出这个结论。现用概率空间(Omega, F, P)来说明。其中Omega为样本空间，F为Omega生成的sigma代数，P为概率测度。假设三扇门的编号分别为A, B, C。因为你是随机选择，所以不失一般性，你选择A。
 
先看第一种情况。主持人告诉你之前，
Omega = {A, B, C}
F = {fai, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C} {A, B, C}} fai表示空集，下同
相应的定义概率测度如下，
P(fai) = 0
P({A}) = P({B}) = P({C}) = 1/3
P({A, B}) = P({B, C}) = P({A, C}) = 2/3
P({A, B, C}) = 1
主持人打开门后面是一只羊，不失一般性，假设主持人打开的门是B。此时，Omega和F都没变，变的只是概率测度，即：
P(fai) = 0, P({A}) = 1/3, P({C}) = 2/3 , P({B}) = 0
P({A, B}) = 1/3, P({B, C}) = 2/3,  P({A, C}) = 1, P({A, B, C}) = 1
对比开门前后，P({A})其实并没改变，这是因为主持人总能打开一扇后面是羊的门，这是确定事件，带给你的信息量为0，它不会影响你选择的门后是车的概率。
 
再看第二种情况。主持人告诉你之前，(Omega, F, P)同上。主持人打开门后面之后，假设主持人打开的是B，且B是羊。注意这与第一种总能打开是羊的门不同，此事件不是确定事件。即：有可能打开门后是车，也有可能是羊，只不过题目中说看到的是羊。对应的概率空间为
Omega = {A, C}, F = {fai, {A}, {C}, {A, C}}
概率测度为
P(fai) = 0, P({A}) = P({C}) = 1/2, P({A, C}) = 1
实际上直接利用Bayes公式计算P({A})，即：
P(A是车|B是羊) = P(A是车，B是羊)/P(B是羊) 
               = P(A是车，B是羊，C也必然是羊)/P(B是羊) 
               = (1/3)/(2/3) = 1/2